已知a＞0，函數(shù)f（x）=
1-ax
x
，x∈（0，+∞）．設0＜x1＜
2
a
，記曲線y=f（x）在點M（x1，f（x1））處的切線為l
（1）求l的方程；
（2）設l與x軸交點為（x2，0），求證：①0＜x2≤
1
a
； ②若0＜x1＜
1
a
，則x1＜x2＜2x1．
（1）依題知，得：f′（x）=-
1
x2
，根據(jù)點斜式可得l的方程為y-
1-ax1
x1
=-
1
x21
(x-x1)，
整理得直線l的方程是 
1
x21
x+y-
2-ax1
x1
=0．
（2）證明：由（1）得 x2=x1（2-ax1）
①由于 0＜x1＜
2
a
，所以ax1＜2，x2=x1（2-ax1）＞0
又x2-
1
a
=x1（2-ax1）-
1
a
=
a2
x21
-2ax1+1
a
=
(ax1-1)2
a
≤0，所以，0＜x2≤
1
a
；
②因為 x2-x1=x1（2-ax1）-x1=x1-ax12=x1（1-ax1），且0＜x1＜
1
a
，，所以1-ax1＞0，即x1＜x2．
又x2-2x1=x1（2-ax1）-2x1=-ax12＜0，所以 x2＜2x1，
故當0＜x1＜
1
a
，則x1＜x2＜2x1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關于x的方程2ax+b=0，則下列選項的命題中為假命題的是（　�。�
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值．

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已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當a=
1
8
時
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1，4]上的最大值等于
1
2
，則a的值為
 
．

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