Question

如圖，設Ox，Oy為平面內相交成60°角的兩條數軸，

e1

，

e2

分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量

OP

=x

e1

+y

e2

，則把有序實數對（x，y）叫做向量

OP

在坐標系xOy中的坐標．已知P點的坐標為（1，1）．
（Ⅰ）求|

OP

|；
（Ⅱ）過點P作直線l分別與x軸、y軸正方向交于點A，B，試確定A，B的位置，使△OAB的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積的定義和運算性質即可得出；
（2）設

OA

=x

e1

，

OB

=y

e2

．由A，P，B三點共線，利用向量共線定理可得：存在實數λ使得

AP

=λ

AB

，利用向量坐標運算和共面向量基本定理可得：y=

x

x-1

＞0
（x＞1）．可得S_△OAB=

1

2

xysin60°=

3

4

x2

x-1

=

3

4

(x-1+

1

x-1

+2)，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）

e1

•

e2

=|

e1

||

e2

|cos60°=1×1×

1

2

=

1

2

．
∴|

OP

|2=(

e1

+

e2

)2=

e1

2+

e2

2+2

e1

•

e2

=1+1+2×

1

2

=3，
∴|

OP

|=

3

．
（2）設

OA

=x

e1

，

OB

=y

e2

．
∵A，P，B三點共線，∴存在實數λ使得

AP

=λ

AB

，
∴（1，1）-（x，0）=λ[（0，y）-（x，0）]，
∴

1-x=-λx 1=λy

，
化為y=

x

x-1

＞0（x＞1）．
∴S_△OAB=

1

2

xysin60°=

3

4

x2

x-1

=

3

4

(x-1+

1

x-1

+2)≥

3

4

(2

(x-1)• 1 x-1

+2)=

3

，當且僅當x=2時取等號．
此時△OAB是邊長為2的等邊三角形．

點評：本題考查了數量積的定義和運算性質、向量共線定理、向量坐標運算和共面向量基本定理、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．