Question

已知函數(shù)f(x)=3^x，且f(a+2)=18，g(x)=3^ax-4^x的定義域?yàn)椋?,1］.

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間，確定其增減性并試用定義證明；

(3)求g(x)的值域.

Answer 1

思路分析：此題是一道有關(guān)函數(shù)的概念、函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的推理、證明的綜合題，做這類題目是可以從第(1)問尋找突破口，另外還要注意后面的各問分別以前面的(1)問作為提示或鋪墊.

(1)要求函數(shù)g(x)的解析式，關(guān)鍵是把式中a的值求出來，而這可以由已知條件f(a+2)=18解得，從而求出g(x)的解析式；

(2)利用復(fù)合函數(shù)得單調(diào)性求g(x)的單調(diào)區(qū)間，并利用函數(shù)單調(diào)性得定義進(jìn)行證明；

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的值域.

解：(1)∵f(x)=3^x,∴f(a+2)=3^a+2=18.∴3^a=2.

∴g(x)=3^ax-4^x=(3^a)^x-4^x.

∴g(x)=2^x-4^x.

(2)令t=2^x.∵x∈［0,1］，且函數(shù)t=2^x在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，∴t∈［1,2］.

則y=t-t²=-(t²-t)=-(t)²+，t∈［1,2］.

∵函數(shù)t=2^x在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，函數(shù)y=t-t²在［1,2］上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,1］.

下面給出證明：

任取x₁、x₂∈［0,1］，且x₁＜x₂，則

g(x₂)-g(x₁)=

=,

∵0≤x₁＜x₂≤1,∴,且1≤＜2,1＜≤2.

∴2＜＜4.∴-3＜1＜-1.

∴()(1-)＜0.

∴g(x₂)＜g(x₁).

∴g(x₁)＞g(x₂).

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減.

(3)∵g(x)在［0,1］上是減函數(shù)，∴g(1)≤g(x)≤g(0).

∴g(1)=2¹-4¹=-2，g(0)=2⁰-4⁰=0.

∴-2≤g(x)≤0.

∴函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?2,0］.