Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=

|x|+|x-2|-m

．
（1）當m=4時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=4時，|x|+|x-2|-4≥0，通過對x≤0，0＜x＜2，x≥2三類討論，去掉絕對值符號后解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可；
（2）

|x|+|x-2|-m

≥0的解集為R?m≤|x|+|x-2|的解集為R，設(shè)g（x）=|x|+|x-2|，求g（x）_min即可．

解答：解：（1）當m=4時，|x|+|x-2|-4≥0，
①

x≤0 -2x-2≥0

⇒{x|x≤-1}或②

0＜x＜2 -2≥0

⇒x∈∅或③

x≥2 2x-6≥0

⇒{x|x≥3}，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≤-1或x≥3}．
（2）由題知，

|x|+|x-2|-m

≥0的解集為R?m≤|x|+|x-2|的解集為R，
設(shè)g（x）=|x|+|x-2|，則g（x）=|x|+|x-2|≥|x-x+2|=2，即g（x）_min=2．
∴m≤g（x）_min=2．
∴m的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．