Question

過拋物線y²＝4x的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的傾斜角多大時，以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點?

Answer 1

解:拋物線y²＝4x的準線與對稱軸的交點為(－1，0).設直線MN的方程為y＝k(x＋1).

由得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0.

∵直線與拋物線交于M、N兩點,

∴Δ＝4(k²－2)²－4k⁴＞0,

即k²＜|k²－2|，k²＜1，－1＜k＜1.

設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，拋物線焦點為F(1，0).

∵以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點,

∴MF⊥NF.

∴·＝－1,

即y₁y₂＋x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0.

又x₁＋x₂＝－,₁x₂＝1,

y₁²y₂²＝16x₁x₂＝16且y₁、y₂同號,∴＝－6.

解得k²＝.∴k＝±,

即直線的傾斜角為arctan或π－arctan時，以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點.