Question

（2013•鄭州一模）如圖：AB是⊙O的直徑，G是AB延長線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線 AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H．
求證：
（I）C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（II）若GH=6，GE=4，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進(jìn)而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點(diǎn)共圓；
（2）由C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用共線定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH²=GC•GD，進(jìn)而得到GH²=GE•GF．即可

解答：證明：（1）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；
（2）∵C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切線，∴GH²=GC•GD，∴GH²=GE•GF．
又因?yàn)镚H=6，GE=4，所以GF=9．
∴EF=GF-GE=9-4=5．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、四點(diǎn)共圓的判定方法、切割線定理、割線定理等是解題的關(guān)鍵．