Question

7．如圖，點(diǎn)P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁（線段BC₁）上運(yùn)動(dòng)，給出下列五個(gè)命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③二面角P-AD₁-C的大小不變；
④直線AD與直線B₁P為異面直線；
⑤點(diǎn)M是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)M一定在直線A₁D₁上．
其中真命題的編號(hào)為①③④⑤．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①：容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，易得；
對(duì)于②：可以從向量的角度進(jìn)行判斷；
對(duì)于③：平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，得到結(jié)論；
對(duì)于④：根據(jù)異面直線的判定定理，可得結(jié)論；
對(duì)于⑤：點(diǎn)M到點(diǎn)D和C₁距離相等，故點(diǎn)M在平面A₁D₁CB上，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①：容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，
則三棱錐A-D₁PC的體積不變；①正確；

對(duì)于②：∵隨著P點(diǎn)的移動(dòng)，$\overrightarrow{AP}$與平面ACD₁的法向量的夾角也是變化的，∴②錯(cuò)誤
對(duì)于③：∵平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，∴③正確；
對(duì)于④：AD∥平面B₁C₁CB，B₁P?平面B₁C₁CB，B₁P與AD不平行，故直線AD與直線B₁P為異面直線；④正確；
對(duì)于⑤，點(diǎn)M到點(diǎn)D和C₁距離相等，故點(diǎn)M在平面A₁D₁CB上，又由M在平面A₁B₁C₁D₁上，故點(diǎn)M一定在直線A₁D₁上．故⑤正確．
故答案為：①③④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．