Question

設a、b為常數，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一點（a，b）映射為函數acosx+bsinx．
（1）證明：對F不存在兩個不同點對應于同一個函數；
（2）證明：當f（x）∈M時，f₁（x）=f（x+t）∈M，這里t為常數；
（3）對于屬于M的一個固定值f（x），得M₁={f（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下點（m，n）的象屬于M₁，問：由所有符合條件的點（m，n）構成的圖形是什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對一切實數x均成立．特別令x=0，得a=c；令x=，得b=d．這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，故不存在兩個不同點對應同函數．
（2）當f（x）∈M時，可得常數aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，f₁（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．由此能夠證明f₁（x）=f（x+t）∈M．
（3）設f（x）∈M，由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），則M₁的原象是{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，消去t得m²+n²=a²+b²，由此能得到有符合條件的點（m，n）構成的圖形是圓．
解答：解：（1）證明：假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數，
即F（a，b）=acosx+bsinx與F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對一切實數x均成立．
特別令x=0，得a=c；
令x=，得b=d．
這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，
假設不成立．
故不存在兩個不同點對應同函數．
（2）當f（x）∈M時，
可得常數aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，
f₁（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）
=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．
由于a，b，t為常數，
設acost+bsint=m，bcost-asint=n，
則m，n是常數．
從而f₁（x）=f（x+t）∈M．
（3）設f（x）∈M，
由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=acost+bsint，n=bcost-asint）
在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），
則M₁的原象是
{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，
消去t得m²+n²=a²+b²，
即在映射F下，M₁的原象{（m，n）|m²+n²=a²+b²}是以原點為圓心，為半徑的圓．
點評：本題考查映射的概念，難度較大．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．