如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝0.5AP＝2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如圖2．

(Ⅰ)求證：AP∥平面EFG；

(Ⅱ)求二面角G－EF－D的大��；

(Ⅲ)求三棱椎D－PAB的體積．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)證明：方法一)連AC，BD交于O點(diǎn)，連GO，F(xiàn)O，EO．

　　∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，，同理，

　　四邊形EFOG是平行四邊形，平面EFOG．　　3分

　　又在三角形PAC中，E，O分別為PC，AC的中點(diǎn)，PA∥EO　　4分

　　平面EFOG，PA平面EFOG，　　5分

　　PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG　　6分

　　方法二)連AC，BD交于O點(diǎn)，連GO，F(xiàn)O，EO．

　　∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，，同理

　　又，

　　平面EFG∥平面PAB，　　4分

　　又PA平面PAB，平面EFG　　6分

　　方法三)如圖以D為原點(diǎn)，以

　　為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系．

　　則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：

　　

　　　　2分

　　設(shè)平面EFG的法向量為

　　

　　取　　4分

　　∵，　　5分

　　又平面EFG．

　　AP∥平面EFG．　　6分

　　(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

　　，又∵面ABCD

　　

　　又

　　平面PCD，向量是平面PCD的一個(gè)法向量，＝　　8分

　　又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為　　9分

　　　　10分

　　結(jié)合圖知二面角的平面角為　　11分

　　(Ⅲ)　　13分

　　　　14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對(duì)角線BD折起（圖2），記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大�。�

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（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對(duì)角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
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AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點(diǎn)，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點(diǎn)M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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