Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1）證明PA//平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

Answer 1

解:方法一：

      

(1) 證明：連結AC，AC交BD于O，連結EO．

∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點，

在中，EO是中位線，∴PA // EO，

而平面EDB且平面EDB，所以，PA //平面EDB．

(2) 證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，

∴，

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊      

PC的 中線，∴．    ①

同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而平面PDC，∴．    ②

由①和②推得平面PBC．

而平面PBC，∴

       又且，所以PB⊥平面EFD．

方法二(理科選擇)：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設．

(1)證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG．

依題意得．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，

故點G的坐標為，

且．

∴，這表明PA//EG．

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．

(2)證明：依題意得，．

又，故．

∴．

由已知，且，所以平面EFD．