過雙曲線C：x2-
y2
3
=1的右焦點F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，
OM
=
OP
+
OQ
，求點M的軌跡方程．
分析：先看當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)出P，Q，M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得PQ的中點的坐標(biāo)，把P，Q代入雙曲線方程，聯(lián)立可求得
y2-y1
x2-x1
即直線PQ的斜率，又根據(jù)F，N的坐標(biāo)可表示出直線FN的斜率，二者相等進(jìn)而求得x和y的關(guān)系式，即點M的軌跡方程．
解答：解．：當(dāng)l垂直于x軸時M（-4，0），當(dāng)l斜率存在時，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y）．PQ的中點N（
x
2
，
y
2
）
由
x
2
1
-
y
2
1
3
=1
x
2
2
-
y
2
2
3
=1
⇒
y2-y1
x2-x1
=-
3x
y
=kPQ．又kPQ=kFN=
y
x-4
，
∴-
3x
y
=
y
x-4
，得M點的軌跡方程是
(x+2)2
4
-
y2
12
=1，M（-4，0）也符合．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解此類題要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線C：x2-y2=1的漸近線方程為
x±y=0
x±y=0
；若雙曲線C的右頂點為A，過A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點，且
PA
=2
AQ
，則直線l的斜率為
±3
±3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年安徽省巢湖市高三（上）質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是    ．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線C：和圓O：x2+y2=b2（其中原點O為圓心），過雙曲線C上一點P（x，y）引圓O的兩條切線，切點分別為A、B．
（1）若雙曲線C上存在點P，使得∠APB=90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；
（2）求直線AB的方程；
（3）求三角形OAB面積的最大值．

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