設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0時(shí)f(x)<0,f(1)=-1.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并用定義法證明;
(2)求f(x)在[0,3]上的值域.
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)令x=0,由f(0+y)=f(0)+f(y)得f(0)=0,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,得f(x)為奇函數(shù).令x>y,由已知可得f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y),結(jié)合x>0時(shí)f(x)<0,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論.
(2)運(yùn)用(1)的結(jié)論和條件f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-1,求出f(3)即可.
解答: 解:(1)f(x)在R上是減函數(shù).
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,則f(0+y)=f(0)+f(y)
∴f(0)=0,
∴f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
∴f(x)為R上的奇函數(shù),
令x2>x1則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x2>x1,∴x2-x1>0,f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)<0
∴f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù);
(2)∵f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-1,
∴f(2)=2f(1)=-2,f(3)=f(2)+f(1)=-3,
∵f(x)在R上是減函數(shù),
∴f(x)在[0,3]上的值域是[f(3),f(0)],即[-3,0].
點(diǎn)評(píng):本題以抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)求值,函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值,熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某中學(xué)對(duì)高三年級(jí)進(jìn)行身高統(tǒng)計(jì),測(cè)量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高,其結(jié)果如下(單位:cm)
分組[140,145)[145,150)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)合計(jì)
人數(shù)12591363140
(1)列出頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖;
(3)估計(jì)數(shù)據(jù)落在[150,170]范圍內(nèi)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),且過點(diǎn)(
2
,
6
2
).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A,B為橢圓上不同的兩點(diǎn),且直線AB垂直于x軸,直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N,直線AF與BN交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2x+4,數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)sn為{an}的前n項(xiàng)和,求和:
1
s1
+
1
s2
+
1
s3
+…+
1
sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線y=-x+1與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在直線l:x-2y=0上.
(1)求此橢圓的離心率;
(2)若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在圓x2+y2=4上,求此橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),已知點(diǎn)M0(0,t),(其中t為常數(shù))求線段PM0長(zhǎng)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a+log2x,且f(a)=1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從集合{3,4,5,6,7,8}中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù),這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=AD=1,點(diǎn)E、F、G分別是棱AA1、C1D1與BC的中點(diǎn),那么四面體B1-EFG的體積是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b≥1)上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),|PQ|取值范圍為[m,n],若[m,n]⊆[1,5],則橢圓的離心率e的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案