Question

已知三個(gè)集合E＝{x|x²－3x＋2＝0}，F(xiàn)＝{x|x²－ax＋(a－1)＝0}，G＝{x|x²－3x＋b＝0}．問：同時(shí)滿足FE，GE的實(shí)數(shù)a和b是否存在？若存在，求出a、b所有值的集合；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為二元一次方程的解之間的關(guān)系，從而求得a、b的值． 　　解：(1)由已知，E＝{1，2}，又∵FE，∴F＝或{1}或{2}． 　�、佼�(dāng)F＝時(shí)，即方程x2－ax＋(a－1)＝0無解．∴Δ＝a2－4(a－1)＜0，即(a－2)2＜0，矛盾． 　　∴F不可能為，即F≠． 　�、诋�(dāng)F＝{1}時(shí)，即方程x2－ax＋(a－1)＝0有兩相等的實(shí)根為1， 　　由根與系數(shù)的關(guān)系知 　　∴即a＝2時(shí)，F(xiàn)E． 　�、郛�(dāng)F＝{2}時(shí)，即方程x2－ax＋(a－1)＝0有兩相等的實(shí)根為2， 　　由根與系數(shù)的關(guān)系知∴ 　　∴a無解，即不存在a的值使FE． 　　綜上，a＝2時(shí)，F(xiàn)E． 　　(2)當(dāng)GE且E＝{1，2}，∴G＝或{1}或{2}或{1，2}． 　�、佼�(dāng)G＝時(shí)，即方程x2－3x＋b＝0無解． 　　∴Δ＝9－4b＜0．∴b＞．此時(shí)GE． 　�、诋�(dāng)G＝{1}時(shí)，即方程x2－3x＋b＝0有兩相等的根為1． 　　由根與系數(shù)的關(guān)系知矛盾． 　　③當(dāng)G＝{2}時(shí)，同理矛盾． 　　④當(dāng)G＝{1，2}時(shí)，即方程x2－3x＋b＝0有兩異根為1、2． 　　由根與系數(shù)的關(guān)系，知∴b＝2． 　　綜上知b＝2或b＞時(shí)，GE． 　　綜合(1)(2)知，同時(shí)滿足FE，GE的a、b的值存在． 　　適合條件的a、b集合分別為{2}、{b|b＝2或b＞}．