Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．
（1）求異面直線BA₁與CC₁所成角的大小；
（2）求證：A₁C⊥平面BC₁D；
（3）求三棱錐C-BDC₁的表面積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）因為BB₁與CC₁平行，所以將CC₁平移到BB₁，從而∠B₁BA₁為直線BA₁和CC₁所成的角，在三角形A₁BB₁中易求；
（2）要證明A₁C⊥平面BC₁D，只需證明直線A₁C垂直于平面BC₁D內的兩條相交直線即可，故只需證明A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁即可；
（3）利用側面積加上底面積，即可求三棱錐C-BDC₁的表面積．

解答： （1）解：∵BB₁∥CC₁
∴∠B₁BA₁為直線BA₁和CC₁所成的角，
∵四邊形AA₁B₁B是正方形
∴△B₁BA₁為等腰直角三角形
∴∠B₁BA₁=45°，即直線BA₁和CC₁所成的角為45°-----------（4分）
（2）證明：連接AC交BD于一點O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方體中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，
同理可證A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一點B，
所以A₁C⊥平面BC₁D（10分）
（3）解：三棱錐C-BDC₁的表面積為3•

1

2

•1•1+

3

4

•(

2

)2=

3+ 3

2

----------------------（14分）

點評：本題著重考查了異面直線的判定，直線與平面位置關系中的垂直問題，證明思路是：要證線面垂直，需證線線垂直，在證明線線垂直過程中，往往需要通過證明線面垂直來實現，要注意線面垂直、線線垂直間的相互轉化．