Question

在三棱錐A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，，E、F分別是AC和BC的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-CDF的體積；
（2）求二面角E-DF-C的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點(diǎn)，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E到平面BCD的距離為d，則，然后根據(jù)錐體的體積公式解之即可．
（2）平面BCD的一個(gè)法向量為，然后求出平面DEF一個(gè)法向量，最后根據(jù)設(shè)二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，則二面角的余弦值為，從而求出二面角．
解答：解：（1）以D為原點(diǎn)，以DB、DC、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），A（0，0，2），，…（2分），
因?yàn)锳D⊥平面BCD，所以平面BCD的一個(gè)法向量為，…（3分）
，
設(shè)點(diǎn)E到平面BCD的距離為d，則，
即三棱錐E-CDF的高為1，…（4分）
因?yàn)辄c(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，所以S_△CDF=S_△BCD，…（5分）
所以三棱錐E-CDE的體積_△CDF=．…（7分）
（2），，
設(shè)平面DEF一個(gè)法向量為，則，，從而，，即，…（9分）
取，則x=z=3，．…（10分）
設(shè)二面角E-DF-C的大小為θ，由圖形可知θ是銳角，
所以．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小為．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了錐體的體積計(jì)算，以及二面角平面角的度量，同時(shí)考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題．