Question

張明要參加某單位組織的招聘面試．面試要求應(yīng)聘者有7次選題答題的機會（選一題答一題），若答對4題即終止答題，直接進入下一輪，否則則被淘汰．已知張明答對每一道題的概率都為

1

2

．
（Ⅰ）求張明進入下一輪的概率；
（Ⅱ）設(shè)張明在本次面試中答題的個數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別求得張明答4道題進入下一輪的概率、答5道題進入下一輪的概率、答6道題進入下一輪的概率、答7道題進入下一輪的概率，相加即得所求．
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為4，5，6，7，再求出ξ取每一個值的概率，即可求得它的概率分布列以及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）張明答4道題進入下一輪的概率為(

1

2

)4=

1

16

；
答5道題進入下一輪的概率為

C

3 4

(

1

2

)3•

1

2

•

1

2

=

1

8

；答6道題進入下一輪的概率為

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

5

32

；
答7道題進入下一輪的概率為

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

=

5

32

；
故張明進入下一輪的概率為P=

1

16

+

1

8

+

5

32

+

5

32

=

1

2

．
（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為4，5，6，7．
當ξ=4時可能答對4道題進入下一輪，也可能打錯4道題被淘汰.P(ξ=4)=(

1

2

)4+(

1

2

)4=

1

8

；
類似有P(ξ=5)=

C

3 4

(

1

2

)3•(

1

2

)•

1

2

+

C

3 4

(

1

2

)3•(

1

2

)•

1

2

=

1

4

； P（ξ=6）=

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

+

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

5

16

；
P（ξ=7）=

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

+

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

=

5

16

．
于是ξ的分布列為

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

點評：本題主要考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，離散型隨機變量的概率分別及其數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．