【題目】在如圖所示的直三棱柱中，，分別是，的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若為正三角形，且，為上的一點，，求直線與直線所成角的正切值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點，連接，.，推導出，從而平面.

；再推導出平面，進而平面平面.由此能證明平面.（Ⅱ）推導出平面平面.平面取的中點，連接，，可得，故平面，又,可得,所以即為直線與直線所成角.，由此能求出直線與平面所成角的正切值.

試題解析：（Ⅰ）取中點，連接，.

在中，因為，分別為，的中點，所以,平面，平面，所以平面.

在矩形中，因為,分別為,的中點，

所以，平面，平面,所以平面.

因為，所以平面平面.

因為平面，故 平面；

（Ⅱ）因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面.

連接，因為為正三角形，為中點，所以,所以平面，

取的中點，連接，，可得，故平面，

又因為,所以,

所以即為直線與直線所成角.

設,在中，，.

所以.

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