Question

已知等比數列{a_n}是遞增數列，且滿足a₁+a₂+a₃=39，a₂+6是a₁和a₃的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1(n=1) an-1log3an(n≥2)

，記數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞120成立的最小n值．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）設出等比數列的公比；由題意列方程組求出等比數列的首項和公比，則等比數列的通項公式可求；
（Ⅱ）由b_n=a_n-1log₃a_n（n≥2）求出數列{b_n}的通項，然后利用錯位相減法求出其前n項和，代入S_n＞120求解n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q（q＞1），
由已知得，2（a₂+6）=a₁+a₃，即2(a1q+6)=a1+a1q2  ①
a1+a1q+a1q2=39  ②
聯(lián)立①②得，a₁=3，q=3．
∴an=3n；
（Ⅱ）由bn=an-1log3an=3n-1•n（n≥2）．
∴Sn=1+2•31+3•32+…+n•3n-1  ③
3Sn=31+2•32+3•33+…+n•3n  ④
④-③得2Sn=-1-31-32-…-3n-1+n•3n=-(

1-3n

1-3

)+n•3n．
∴2Sn=n•3n-

3n

2

+

1

2

=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．
由S_n＞120，得(n-

1

2

)•3n+

1

2

＞240．
∴n≥4．
∴最小n的值為4．

點評：本題考查了數列的函數特性，考查了數列遞推式，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．