Question

【題目】已知直線l：x+y+8=0，圓O：x2+y2=36（O為坐標原點），橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為e= ，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點（3，0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設 （O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓心O到直線l：x+y+8=0的距離為 ， ∴直線l被圓O截得的弦長為 ，
∵直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵橢圓的離心率為e= ，
∴c=
∴b2=a2﹣c2=1
∴橢圓C的方程為： ；
（Ⅱ）∵ ，∴四邊形OASB是平行四邊形．
假設存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有 ，
設A（x1 ， y2），B（x2 ， y2），則x1x2+y1y2=0．
直線l的斜率顯然存在，設過點（3，0）的直線l方程為：y=k（x﹣3），
由 ，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，
由△=（﹣24k2）2﹣4（1+4k2）（36k2﹣4）＞0，可得﹣5k2+1＞0，即 ．
∴ = ，
由x1x2+y1y2=0得： ，滿足△＞0．
故存在這樣的直線l，其方程為
【解析】（Ⅰ）計算圓心O到直線l：x+y+8=0的距離，可得直線l被圓O截得的弦長，利用直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，可求a的值，利用橢圓的離心率為e= ，即可求得橢圓C的方程；（Ⅱ）由 ，可得四邊形OASB是平行四邊形．假設存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有 ，設直線方程代入橢圓方程，利用向量的數量積公式，即可求得結論．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．