Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)，求證：
（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)．結(jié)合，我們可以求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式即可求出的值的范圍，進(jìn)而得到答案；
（II）將b=-2代入，我們可利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域，及f（x）的最大值大于6構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，分類討論后，即可得到滿足條件的a的取值范圍；
（III）當(dāng)t=sinx，利用換元法，我們可以將若存在x∈R，f（x）≤0，轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)使一個(gè)關(guān)于t的二次不等式成立，利用對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b=
∴
即
（Ⅱ）∵b=-2，∴
=
；


解得a的取值范圍是
（Ⅲ），
∴，
設(shè)t=sinx，令φ（t）=
=
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法，其中利用換元法將已知中的函數(shù)及不等式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)及二次不等式是解答本題的關(guān)鍵．