焦點分別為(0,5
2
)和(0,-5
2
)的橢圓截直線y=3x-2所得橢圓的弦的中點的橫坐標為
1
2
,求此橢圓方程.
分析:根據(jù)焦點坐標得出a2-b2=50,將直線的方程與橢圓的方程組成方程組,消去y得到關于x的方程,再根據(jù)根與系數(shù)的關系求得AB的中點的橫坐標的表達式,最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a,b即可求橢圓的方程.
解答:解:由題意可設橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0),
∵c=5
2

∴a2-b2=50①
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0.
設弦的兩個端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關系可得,
x1+x2=
12b2
a2+9b2

由中點坐標公式可得,
12b2
a2+9b2
×
1
2
=
1
2

∴a2=3b2
聯(lián)立①②可得,a2=75,b2=25
∴橢圓方程為
x2
25
+
y2
75
=1
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題.直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.注意本題還金額以考慮利用點差法進行求解
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓短軸的一個端點,且滿足
F1M
F2M
=0,點N( 0,3 )到橢圓上的點的最遠距離為5
2

(1)求橢圓C的方程
(2)設斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,P(0,-
3
3
)
;問A、B兩點能否關于過點P、Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左頂點、右焦點分別為A、F,點B(0,b),若|
.
BA
+
.
BF
|=|
.
BA
-
.
BF
|,則該雙曲線離心率e的值為
1+
5
2
1+
5
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
25-a2
=1(a>0)
的左右兩焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是雙曲線右支上的一點,Q點滿足
PQ
•|
PF1
|=
PF1
•|
PF2
|
,
F1F2
F1P
上的投影的大小恰為|
F1P
|
,且它們的夾角為
π
6
,則a等于( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的兩個焦點坐標分別為(0,-2),(0,2),并且經(jīng)過點(-
3
2
,-
5
2
),則橢圓的方程是
 

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