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5.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=1,且(1-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,則△ABC周長的取值范圍為(2,3].

分析 a=1,(1-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,可得(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得:(a-b)(a+b)=(c-b)c,利用余弦定理可得A,再利用正弦定理即可得出.

解答 解:在ABC中,∵a=1,(1-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,
∴(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,
由正弦定理可得:(a-b)(a+b)=(c-b)c,
化為:b2+c2-a2=bc.
∴cosA=2+c2a22bc=12,A∈(0,π),
∴A=π3
由正弦定理可得:sinB=csinC=1sinπ3=233,
∴b=233sinB,c=233sinC,
∴△ABC周長=1+b+c=1+233sinB+233sinC=1+233[sinB+sin2π3B]=1+2sinB+π6
∵B∈02π3,∴sinB+π6121],
∴∴△ABC周長的取值范圍是(2,3].
故答案為:(2,3].

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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