Question

2．直線y=kx+1與雙曲線x²-4y²=16只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．

Answer 1

分析 由直線y=kx+1與雙曲線x²-4y²=16，得（1-4k²）x²-8kx-20=0，則該方程只有一解，分1-4k²=0，1-4k²≠0兩種情況討論可解得k值．

解答 解：由直線y=kx+1與雙曲線x²-4y²=16，得（1-4k²）x²-8kx-20=0，
①當(dāng)1-4k²=0，即k=±$\frac{1}{2}$時(shí)，x=±5，
此時(shí)直線與雙曲線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)1-4k²≠0，即k≠±$\frac{1}{2}$時(shí)，
△=64k²-4（1-4k²）（-20）=0，即4k²=5，解得k=±$\frac{\sqrt{30}}{12}$，
此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
綜上，k的取值范圍為{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．
故答案為：{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查方程思想，考查函數(shù)解決問(wèn)題的能力．