Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）證明：對，不等式成立.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； （Ⅱ）詳見解析； （Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）由第（Ⅰ）問的結(jié)果，根據(jù)極值點與區(qū)間的關(guān)系對的取值進行分類討論，從而確定下同條件下的最大值. （Ⅲ）要證：，即證：，即證：

而由（I）的結(jié)果，易知：對任何 恒成立，因此可構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立.

試題解析：解：（Ⅰ）的定義域為，，

由，得.

當時，；當時，.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （4分）

（Ⅱ）（1）當，即時，在上單調(diào)遞增，所以

.

（2）當時，在上單調(diào)遞減，所以

.

（3）當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以

. （10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當時，，所以在上，恒有

，即且當時等號成立.

因此，對，恒有.

因為，，所以，即，

所以.

即對，不等式成立. （14分）

考點：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、利用函數(shù)的思想解決不等式的問題.