Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$為奇函數(shù)．
（1）則a=1
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$的值域為（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 （1）根據函數(shù)奇偶性的定義進行求解即可．
（2）根據函數(shù)單調性的性質進行求解即可．

解答 解：（1）根據題意，函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$，則有f（-x）=$\frac{{e}^{-x}+a}{{e}^{-x}-1}$=$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$，
若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則有$\frac{1+a•{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=-$\frac{{{e^x}+a}}{{{e^x}-1}}$，
分析可得，a=1，
（2）由（1）可得，a=1，則f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$，
則g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$，
其中x≠0，
則g（-x）=$\frac{{e}^{-x}+1}{{e}^{-x}-1}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{1+{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$+$\frac{2}{x}$=-（$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{2}{x}$）=-g（x），則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
當x＞0時，函數(shù)為增函數(shù)，當x→+∞時，g（x）→1，
即當x＞0時，0＜g（x）＜1，∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴當x＜0時，-1＜g（x）＜0，
綜上函數(shù)的值域為（-1，0）∪（0，1），
故答案為：1，（-1，0）∪（0，1），

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質，關鍵是利用奇偶性求出a的值，利用函數(shù)奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵．