Question

5．將圓的六個等分點分成相同的兩組，它們每組三個點構成的兩個正三角形除去內部的六條線段后可以形成一個正六角星．如圖所示的正六角星的中心為點O，其中x，y分別為點O到兩個頂點的向量．若將點O到正六角星12個頂點的向量都寫成ax+by的形式，則a+b的最大值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形，得出求a+b的最大值時﹐只需考慮圖中6個頂點的向量即可，分別求出即得結論．

解答 解：欲求a+b的最大值﹐只需考慮右圖中6個頂點的向量即可，討論如下﹔
（1）∵$\overrightarrow{OA}$═$\overrightarrow{x}$﹐∴（a，b）=（1，0）；
（2）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{y}+3\overrightarrow{x}$，所以（a，b）=（3，1）；
（3）∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{\\;y}+2\overrightarrow{x}$，所以（a，b）=（2，1）；
（4）∵$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}=3\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（3，2）；
（5）∵$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（1，1）；
（6）∵$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（0，1）；
因此﹐a+b的最大值為3+2=5﹒
故答案為：5﹒

點評 本題考查了平面向量的基本定理的應用問題，也考查了平面向量的坐標表示的應用問題，屬于中檔題．