Question

19．如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，EF分別是AC和BC的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）證明：AB∥平面DEF；
（2）在線段BC上是否存在點P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由E、F分別是AC、BC的中點，得EF∥AB，由此證明AB∥平面DEF；
（Ⅱ）以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法找出在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．

解答 解：（1）證明：如圖（2），在△ABC中，
∵E、F分別是AC、BC的中點，∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF；
（2）以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，如圖（3）所示； 

則A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
E（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{DF}$=（1，$\sqrt{3}$，0）；
設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2），
由AP⊥DE得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$λ+1×（-2）=0，解得λ=$\frac{1}{3}$，
∴在線段BC上存在點P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了直線與平面平行的證明與滿足條件的點是否存在的判斷問題，階梯式要注意向量法的合理運用．