Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+x²+ax+b．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=ax恰有兩個不同的公共點，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） a=-1時，f'（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），由導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）的圖象與直線y=ax恰有兩個不同的公共點，等價于f（x）-ax=0有兩個不等的實根．令g（x）=f（x）-ax=x³+x²+b，則g'（x）=3x²+2x=x（3x+2），由導數(shù)性質(zhì)能求出b．

解答 解：（Ⅰ） a=-1時，f（x）=x³+x²-x+b，
所以f'（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），
令f'（x）＞0，得x＜-1或$x＞\frac{1}{3}$，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-1），$（{\frac{1}{3}，+∞}）$內(nèi)是增函數(shù)．
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）的圖象與直線y=ax恰有兩個不同的公共點，
等價于f（x）-ax=0有兩個不等的實根．
令g（x）=f（x）-ax=x³+x²+b，所以g'（x）=3x²+2x=x（3x+2）
令g'（x）＞0，得$x＜-\frac{2}{3}$或x＞0；令g'（x）＜0得$-\frac{2}{3}＜x＜0$．
所以函數(shù)g（x）在$（{-∞，-\frac{2}{3}}）$和（0，+∞）上單調(diào)遞增；在$（{-\frac{2}{3}，0}）$上單調(diào)遞減．
所以$x=-\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（x）取得極大值為$g（{-\frac{2}{3}}）=\frac{4}{27}+b$；
當x=0時函數(shù)g（x）取得極小值為g（0）=b．
故$g（{-\frac{2}{3}}）=\frac{4}{27}+b=0$或g（0）=b=0．
所以$b=-\frac{4}{27}$或b=0．

點評 本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．