Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將f（x）的圖象先向右平移個單位，再向上平移個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；　　　
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則，，
故．
（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 ，
故函數(shù)的增區(qū)間為．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 ，
故函數(shù)的減區(qū)間為．
（3）∵f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，整理可得．
∵，∴0≤sin（2x+）≤1，-≤f（x）≤1-，故．
則有 ，故 的最小值為，
故 ，即m取值范圍是．
分析：（1）由周期求得ω，由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)求得φ和b的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．同理，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的減區(qū)間．
（3）把條件整理可得，根據(jù)x的范圍，求得f（x）的范圍，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．