Question

17．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1），過點(diǎn)B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率為1的直線l交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓E上，點(diǎn)R（-1，0），若直線QR的斜率大于1，求直線OQ的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出直線l：y=x-1，與橢圓聯(lián)立，得（a²+1）x²-2a²x=0，由此利用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出a²，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意Q（2cosθ，sinθ），R（-1，0），${k}_{QR}=\frac{sinθ}{2cosθ+1}$＞1，從而$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，由此能求出直線OQ的斜率的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線l過點(diǎn)B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）斜率為1，
∴直線l：y+$\frac{1}{5}$=x-$\frac{4}{5}$，整理，得y=x-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²-2a²x=0，
△=4a⁴-4（a²+1）＞0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵過點(diǎn)B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率為1的直線l交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn)，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{{a}^{2}+1}_{\;}}=\frac{8}{5}$，
解得a²=4，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1上，∴Q（2cosθ，sinθ），R（-1，0），
∵直線QR的斜率大于1，∴${k}_{QR}=\frac{sinθ}{2cosθ+1}$＞1，
∴0＜2cosθ+1＜sinθ，
∴-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜0，
∴$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
∵直線OQ的斜率k=$\frac{sinθ}{2cosθ}$=$\frac{1}{2}tanθ$，$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
∴直線OQ的斜率k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．
∴直線OQ的斜率的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、根的判別式、橢圓參數(shù)方程、直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．