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17.已知橢圓E:x2a2+y2=1(a>1),過點(diǎn)B(45,-15)作斜率為1的直線l交橢圓E于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓E上,點(diǎn)R(-1,0),若直線QR的斜率大于1,求直線OQ的斜率的取值范圍.

分析 (1)求出直線l:y=x-1,與橢圓聯(lián)立,得(a2+1)x2-2a2x=0,由此利用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出a2,由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)由題意Q(2cosθ,sinθ),R(-1,0),kQR=sinθ2cosθ+1>1,從而π2θ2π3,由此能求出直線OQ的斜率的取值范圍.

解答 解:(1)∵直線l過點(diǎn)B(45,-15)斜率為1,
∴直線l:y+15=x-45,整理,得y=x-1,
聯(lián)立{x2a2+y2=1y=x1,得(a2+1)x2-2a2x=0,
△=4a4-4(a2+1)>0,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
∵過點(diǎn)B(45,-15)作斜率為1的直線l交橢圓E于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)B恰為線段CD的中點(diǎn),
x1+x2=2a2a2+1=85,
解得a2=4,
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(2)∵動(dòng)點(diǎn)Q在橢圓E:x24+y2=1上,∴Q(2cosθ,sinθ),R(-1,0),
∵直線QR的斜率大于1,∴kQR=sinθ2cosθ+1>1,
∴0<2cosθ+1<sinθ,
∴-12<cosθ<0,
π2θ2π3
∵直線OQ的斜率k=sinθ2cosθ=12tanθ,π2θ2π3,
∴直線OQ的斜率k∈(-∞,-62).
∴直線OQ的斜率的取值范圍是(-∞,-62).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線的斜率的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、根的判別式、橢圓參數(shù)方程、直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.

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