Question

如圖，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O為△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=．
（I）求證：BO∥平面PAC；
（II）若點M為PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，交AB于點D，O為△ABC的外心，AB=BC=1，OA=OB，OC=0C，故△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=60°．
故△OAC和△OBC 都是等邊三角形，故平行四邊形ACBO為菱形，故OB與AC平行且相等．
再由AC?平面PAC，OB不在平面PAC內(nèi)，可得BO∥平面PAC．
（II）∵PC⊥平面AMB，∴PC⊥DM，直角三角形POC中，PO=，OC=1，∴PC=．
由△POC∽△CMD，D為OC中點可得，CM=，建立如圖所示的空間坐標系，則得O（0，-，0），A（，0，0），B（-，0，0），M（0，，）．
∴=（-，0，0），=（-，，），=（-，，0），=（0，，）．
設(shè)平面MAB的法向量為=（x，y，z），由 解得=（0，1，-）．
設(shè)平面OMB的法向量為=（x′，y′，z′），由 解得=（1，，-4）．
故cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故二面角A-BM-O的正弦值為．
分析：（1）連接OC，交AB于點D，先證明△OAC≌△OBC，可得平行四邊形ACBO為菱形，故OB與AC平行且相等，再由線面平行的判定定理可得BO∥平面PAC．
（II）建立如圖所示的空間坐標系，求出有關(guān)點的坐標，分別求出兩個平面的法向量和的坐標，利用兩個向量的夾角公式求出cos＜，＞，從而求出sin＜，＞的值，即得所求
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，用向量的方法求二面角的大小，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于難題．