Question

1．在平面直角坐標系中，定義$\left\{\begin{array}{l}{x_{n+1}}={x_n}-{y_n}\\{y_{n+1}}={x_n}+{y_n}\end{array}\right.，（n∈{N^*}）$為點P_n（x_n，y_n）到點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個變換，我們把它稱為點變換．已知P₁（1，0），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…是經過點變換得到的一組無窮點列，設a_n=$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}•\overrightarrow{{P_{n+1}}{P_{n+2}}}$，則滿足不等式a₁+a₂+…+a_n＞2016的最小正整數(shù)n的值為11．

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可求得點P₁，P₂到P₇的坐標，從而可以求出向量$\stackrel{→}{{P}_{1}{P}_{2}}$，$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$，…，$\stackrel{→}{{P}_{6}{P}_{7}}$的坐標，進行向量數(shù)量積的坐標運算便可求出a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=16，從而便可看出數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求出前n項和為2ⁿ-1，從而可以得到2ⁿ＞2017，這樣便可判斷出最小正整數(shù)n的值．

解答 解：由條件得，P₁（1，0），P₂（1，1），P₃（0，2），P₄（-2，2），P₅（-4，0），P₆（-4，-4），P₇（0，-8）…；
∴a₁=$\stackrel{→}{{P}_{1}{P}_{2}}$•$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$=（0，1）•（-1，1）=1，a₂=$\stackrel{→}{{P}_{2}{P}_{3}}$•$\stackrel{→}{{P}_{3}{P}_{4}}$=（-1，1）•（-2，0）=2
a₃=$\stackrel{→}{{P}_{3}{P}_{4}}$•$\stackrel{→}{{P}_{4}{P}_{5}}$=（-2，0）•（-2，-2）=4，a₄=$\stackrel{→}{{P}_{4}{P}_{5}}$•$\stackrel{→}{{P}_{5}{P}_{6}}$=（-2，-2）•（0，-4）=8，
a₅=$\stackrel{→}{{P}_{5}{P}_{6}}$•$\stackrel{→}{{P}_{6}{P}_{7}}$=（0，-4）•（4，-4）=16，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1•（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴由a₁+a₂+…+a_n＞2016得，2ⁿ-1＞2016；
∴2ⁿ＞2017；
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴滿足a₁+a₂+…+a_n＞2016的最小正整數(shù)n=11，
故答案為：11．

點評 本題是一個新定義題目，充分理解題意，并進行相應的轉化是解題的關鍵．