已知橢圓C:
x2
36
+
y2
4
=1
,斜率為
1
3
的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P(3
2
,
2
)
在直線l的上方,
(1)求直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的取值范圍; 
(2)證明:△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條直線上.
分析:(1)根據(jù)點(diǎn)P(3
2
,
2
)
在直線l的上方,斜率為
1
3
的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),可得b的范圍,進(jìn)而可求直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的取值范圍; 
(2)證明kPA+kPB=0,根據(jù)點(diǎn)P在直線l的上方,可得∠APB的角平分線是平行于y軸的直線,故可得結(jié)論.
解答:(1)解:設(shè)直線l的方程為y=
1
3
x+b
,
∵點(diǎn)P(3
2
2
)
在直線l的上方,
2
2
+b
,∴b<0
直線l的方程代入橢圓方程,整理可得2x2+6bx+9b2-36=0
∵斜率為
1
3
的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),
∴△=36b2-8(9b2-36)=-36b2+288>0
∴-2
2
<b<2
2

∴-2
2
<b<0
y=
1
3
x+b
,令y=0可得x=-3b,即x0=-3b,
x0∈(0,6
2
)

(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x1,y1),則
x1+x2=x0
x1x2=
x02-36
2

kPA=
x1-(x0+3
2
)
3(x1-3
2
)
,kPB=
x2-(x0+3
2
)
3(x2-3
2
)

∴kPA+kPB=0,
又∵點(diǎn)P在直線l的上方,故∠APB的角平分線是平行于y軸的直線,
故∠PAB的內(nèi)切圓圓心在直線x=3
2
上.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查直線斜率的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A,F(xiàn),右準(zhǔn)線為l,N為l上一點(diǎn),且在x軸上方,AN與橢圓交于點(diǎn)M.
(1)若AM=MN,求證:AM⊥MF;
(2)過A,F(xiàn),N三點(diǎn)的圓與y軸交于P,Q兩點(diǎn),求PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P是橢圓
x2
36
+
y2
24
=1(x≠0,y≠0)
上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若M是∠F1PF2的角平分線上一點(diǎn),且
F1M
MP
=0
,則|OM|的取值范圍是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•遼寧模擬)已知F1、F2分別為橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2的重心G的軌跡方程為( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:遼寧模擬 題型:單選題

已知F1、F2分別為橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2的重心G的軌跡方程為( �。�
A.
x2
36
+
y2
27
=1(y≠0)
B.
4x2
9
+y2=1(y≠0)
C.
9x2
4
+3y2=1(y≠0)
D.x2+
4y2
3
=1(y≠0)

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