Question

如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°．

(1)證明：BD⊥AA1；

(2)求銳二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；

(3)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

(1)證明見解析；(2) 二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，點P在C1C的延長線上且使C1C＝CP．

【解析】

試題分析：(1)連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O,可證A1O⊥底面ABCD，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而得，坐標(biāo)，由坐標(biāo)運算可得，即兩向量垂直，得兩線垂直；(2)分別求出兩平面的一個法向量，，利用，可得二面角的平面角的余弦值；(3)令存在，在直線CC1 上設(shè)，P(x，y，z)，得＝(，1＋λ，λ)，取平面DA1C一法向量，知·＝0，得的值，P點可求．

【解析】
連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O．

在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，

∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴A1O⊥AO，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥底面ABCD， 2分

∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)．

(1)由于＝(，0,0)，＝(0,1，)，則·＝0×()＋1×0＋×0＝0，

所以:BD⊥AA1． 4分

(2)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的法向量＝(1,0,0)，設(shè)⊥平面AA1D，則

設(shè)＝(x，y，z)，

得到取， 6分

∴，

∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是． 8分

(3)假設(shè)在直線CC1上存在點P，使BP∥平面DA1C1，

設(shè)，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)， 9分

得P(0,1＋λ，λ)，＝(，1＋λ，λ)．

設(shè)⊥平面DA1C1，則．

設(shè)＝(x3，y3，z3)，得到．

不妨取＝(1,0，－1)． 10分

又∵∥平面DA1C1，則·＝0，即－λ＝0，得λ＝－1，

即點P在C1C的延長線上且使C1C＝CP 12分

考點：空間向量在立體幾何證明計算中的應(yīng)用,空間想象能力．