如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°.
(1)證明:BD⊥AA1;
(2)求銳二面角D-A1A-C的平面角的余弦值;
(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
(1)證明見(jiàn)解析;(2) 二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是.(3)存在,點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP.
【解析】
試題分析:(1)連接BD交AC于O,則BD⊥AC,連接A1O,可證A1O⊥底面ABCD,則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別寫(xiě)出的坐標(biāo),進(jìn)而得
,
坐標(biāo),由坐標(biāo)運(yùn)算可得
,即兩向量垂直,得兩線垂直;(2)分別求出兩平面的一個(gè)法向量
,
,利用
,可得二面角的平面角的余弦值;(3)令存在,在直線CC1 上設(shè)
,P(x,y,z),得
=(
,1+λ,
λ),取平面DA1C一法向量
,知
·
=0,得
的值,P點(diǎn)可求.
【解析】
連接BD交AC于O,則BD⊥AC,連接A1O.
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
∴A1O2=+AO2-2AA1·AOcos 60°=3,
∴AO2+A1O2=A1A2,∴A1O⊥AO,
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥底面ABCD, 2分
∴以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(
,0,0),A1(0,0,
).
(1)由于=(
,0,0),
=(0,1,
),則
·
=0×(
)+1×0+
×0=0,
所以:BD⊥AA1. 4分
(2)由于OB⊥平面AA1C1C,
∴平面AA1C1C的法向量=(1,0,0),設(shè)
⊥平面AA1D,則
設(shè)=(x,y,z),
得到取
, 6分
∴,
∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是. 8分
(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,
設(shè),P(x,y,z),則(x,y-1,z)=λ(0,1,
), 9分
得P(0,1+λ,λ),
=(
,1+λ,
λ).
設(shè)⊥平面DA1C1,則
.
設(shè)=(x3,y3,z3),得到
.
不妨取=(1,0,-1). 10分
又∵∥平面DA1C1,則
·
=0,即
-
λ=0,得λ=-1,
即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP 12分
考點(diǎn):空間向量在立體幾何證明計(jì)算中的應(yīng)用,空間想象能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高二暑假作業(yè)二數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若
的面積為S,且
等于
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省菏澤市高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若f(x)=x3,f′(x0)=3,則x0的值是( 。.
A.1 B.﹣1 C.±1 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濰坊市高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知正六邊形,在下列表達(dá)式①
;②
;
③;④
中,等價(jià)的有
A.個(gè) B.
個(gè) C.
個(gè) D.
個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省濰坊市高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的定義域?yàn)?
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______.
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正五棱柱中,不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線,那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有( )
A.20 B.15 C.12 D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
冪指函數(shù)y=f(x)g(x)在求導(dǎo)數(shù)時(shí),可以運(yùn)用對(duì)數(shù)法:在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得,兩邊求導(dǎo)數(shù)得
=
,于是y′=f(x)g(x)·
.運(yùn)用此法可以探求得知y=
的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為( ).
A.(0,2) B.(2,3) C.(e,4) D.(3, 8)
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若函數(shù)有極值點(diǎn)
,且
,若關(guān)于
的方程
的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
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