Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且

，求直線l的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a>0），短半軸長(zhǎng)為b（b>0），

則2b=4，。            2分

解得a=4，b=2。                      3分

因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，

所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，且為。     5分

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分

由方程組，消去y，

得，      7分

由題意，得， 8分

且，  9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050119042853705216/SYS201305011904548807316887_DA.files/image009.png">

， 11分

所以，解得m=±2,

驗(yàn)證知△＞0成立，

所以直線l的方程為。      13分

考點(diǎn)：橢圓方程幾何性質(zhì)及直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交問題常借助與韋達(dá)定理設(shè)而不求簡(jiǎn)化計(jì)算，本題涉及到的弦長(zhǎng)公式，其中k是直線斜率，是兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)