Question

9．函數(shù)f（x）若在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的局部對(duì)稱點(diǎn)．
（Ⅰ）若a，b，c∈R，證明函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)m，使得定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)f（x）=2^x+m有局部對(duì)稱點(diǎn)？若存在，求出m的范圍，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)局部對(duì)稱點(diǎn)的定義進(jìn)行證明即可．
（Ⅱ）結(jié)合局部對(duì)稱點(diǎn)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由f（x）=ax³+bx²+cx-b得f（-x）=-ax³+bx²-cx-b，
由f（-x）=-f（x） 得到關(guān)于x的方程2bx²-2b=0，…（1分）
當(dāng)b≠0時(shí)，x=±1；當(dāng)b=0，x∈R等式恒成立，
所以函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=2^x+m，∴f（-x）=2 ^-x+m
由f（-x）=-f（x） 得到關(guān)于x的方程2^x+2^-x+2m=0，…（6分）
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（8分）
令t=2^x∈$[\frac{1}{2}，2]$，則$-2m=t+\frac{1}{t}∈[2，\frac{5}{2}]$，解得$m∈[-\frac{5}{4}，-1]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)局部對(duì)稱點(diǎn)的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．