Question

10．已知a=${∫}_{0}^{π}$$\frac{3}{2}$sinxdx，若二項(xiàng)式（ax-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256．
（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)定積分的計(jì)算求出a的值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為256求得n=8，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出．
（Ⅱ）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）a=${∫}_{0}^{π}$$\frac{3}{2}$sinxdx=-$\frac{3}{2}$cosx|${\;}_{0}^{π}$=-$\frac{3}{2}$（-1-1）=3，
∵二項(xiàng)式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256，
∴2ⁿ=256，
∴n=8，
∴展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=（-1）^rC₈^r3^8-r•${x}^{8-\frac{4r}{3}}$．
∴它的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即T₅=（-1）⁴C₈⁴3^8-4•${x}^{\frac{8}{3}}$=5670${x}^{\frac{8}{3}}$；
（Ⅱ）令8-$\frac{4r}{3}$=0，解得r=6，
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)（-1）⁶C₈⁶3^8-6=252．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查定積分的計(jì)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．