Question

橢圓C：（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分別為橢圓C的長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn)．
（1）設(shè)點(diǎn)M（x，0），若當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A₁、A₂處時(shí)，|PM|取得最大值與最小值，求x的取值范圍；
（2）若橢圓C上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為l，且與直線(xiàn)l：y=kx+m相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓的左右頂點(diǎn)），并滿(mǎn)足AA₂⊥BA₂．試研究：直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用P，M點(diǎn)坐標(biāo)表示|PM|的平方，得到PM|的平方可看成是關(guān)于x的二次函數(shù)，再根據(jù)x的取值范圍，求出PM|的平方的范圍，進(jìn)而得到x的取值范圍．
（2）先根據(jù)橢圓C上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為l求出橢圓方程，再與直線(xiàn)l：y=kx+m聯(lián)立，得到x₁x₂，x₁+x₂，再根據(jù)AA₂⊥BA₂，AA₂與BA₂斜率之積為-1，，求m的值，若能求出，則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，若不能求出，則直線(xiàn)l不過(guò)定點(diǎn)．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y）且（a＞b＞0）
則，則對(duì)稱(chēng)軸方程為，
由題意只有當(dāng)或時(shí)滿(mǎn)足題意，所以或
故x的取值范圍是．                                    
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183340234115922/SYS201310241833402341159019_DA/8.png">所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                        
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立
得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=，
因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為A₂（2，0），∴，即=-1，
y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴+++4=0，∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：m₁=-2k，m₂=-，且均滿(mǎn)足3+4k²-m²＞0，
當(dāng)m₁=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)m₂=-時(shí)，l的方程為y=k（x-），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（，0）．
所以，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系，計(jì)算量較大，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．