Question

（本題滿分15分）已知等差數(shù)列中，，公差；數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，滿足：

（Ⅰ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅱ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)積，若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）由，得，所以當(dāng)時(shí)，=，又當(dāng)

，符合上式，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列.

（Ⅲ）的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可求得其

前項(xiàng)和；（Ⅱ）由已知及公式可得，當(dāng)時(shí)，的通項(xiàng)公式；然

后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足上述通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式即可證明結(jié)論成立；

（Ⅲ）根據(jù)作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而判斷數(shù)列的最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106031871705092/SYS201502210603252799369856_DA/SYS201502210603252799369856_DA.020.png">，

所以，

所以

=.

（Ⅱ）由，得，

所以當(dāng)時(shí)，=，

又當(dāng)，符合上式，所以，

故數(shù)列是等比數(shù)列.

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106031871705092/SYS201502210603252799369856_DA/SYS201502210603252799369856_DA.024.png">，所以，

當(dāng)時(shí)，=，

又符合上式，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022106031871705092/SYS201502210603252799369856_DA/SYS201502210603252799369856_DA.031.png">，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，但當(dāng)時(shí)，每一項(xiàng)均小于0，

所以的最大值為.

考點(diǎn)：等差數(shù)列；等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和；數(shù)列的單調(diào)性.