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已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R上的函數(shù)是奇函數(shù).
(Ⅰ)求y=g(x)與y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)判斷y=f(x)在R上的單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明;
(Ⅲ)若方程f(x)=b在(-∞,0)上有解,試證:-1<3f(b)<0.
【答案】分析:(I)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,即可求出y=g(x)的解析式;由題意知f(0)=0,f(1)=-f(-1),解方程組即可求出m,n的值,即可求出y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)任取x1,x2∈R,且x1<x2,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷f(x1)-f(x2)的符號,進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷y=f(x)在R上的單調(diào)性
(Ⅲ)若方程f(x)=b,可得b∈(0,1),進而可得f(1)<f(b)<f(0),進而得到結(jié)論.
解答:解:(I)設(shè)g(x)=ax(a>0,a≠1),由g(2)=4得a=2,故g(x)=2x,…(2分)
∵函數(shù)=是奇函數(shù)
∴f(0)==0
∴n=1;又由f(1)=-f(-1)知=-,解得m=1
∴f(x)=
(II)f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數(shù),理由如下:
設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2
,1+>0,1+>0,
∴f(x1)-f(x2)=-=>0
即f(x1)>f(x2
故f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數(shù)
證明:(III)若方程f(x)=b在(-∞,0)上有解,
=-1=b在(-∞,0)上有解,
∵此時2x∈(0,1)
-1∈(0,1)
從而b∈(0,1)
由(II)得f(x)= 在(-∞,+∞)上為減函數(shù)
∴f(1)<f(b)<f(0).
<f(b)<0
即:-1<3f(b)<0
點評:本題考查的知識點:待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)的解析式,函數(shù)的奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系,是函數(shù)問題的簡單綜合應(yīng)用,難度中檔
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R的函數(shù)f(x)=
-g(x)+n2g(x)+m
是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R,函數(shù)f(x)=
-g(x)+n2g(x)+m
是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈[1,3],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)過點(1,3),函數(shù)f(x)=
-g(x)+ng(x)+1
是R上的奇函數(shù).
(I)求y=g(x)的解析式;
(II)求n的值并用定義域判定y=f(x)的單調(diào)性;
(III)討論關(guān)于x的方程xf(x)=m的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R上的函數(shù)f(x)=
-g(x)+ng(x)+m
是奇函數(shù).
(Ⅰ)求y=g(x)與y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)判斷y=f(x)在R上的單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明;
(Ⅲ)若方程f(x)=b在(-∞,0)上有解,試證:-1<3f(b)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域為R的函數(shù)f(x)=
n-g(x)m+2g(x)
是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(2t-3t2)+f(t2-k)>0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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