Question

（2013•涼山州二模）設(shè)實(shí)數(shù)x＞0，若x+

4

x+1

＞m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（-∞，3）

．

Answer 1

分析：由題意可得x+

4

x+1

的最小值大于m，由x＞0，利用基本不等式可得x+

4

x+1

的最小值為3，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題意可得x+

4

x+1

的最小值大于m，由x＞0，利用基本不等式可得x+

4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-1≥4-1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

4

x+1

，即x=1時(shí)，取等號(hào)，故有x+

4

x+1

的最小值為3，∴3＞m，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （-∞，3），
故答案為 （-∞，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．