Question

關(guān)于x的方程a2x+(1+

1

m

)ax+1=0 (a＞0，a≠1)有解，則m的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  3

  ，0)
• B、[-

  1

  3

  ，0)∪(0，1]
• C、(-∞，-

  1

  3

  ]
• D、[1，+∞）

Answer 1

分析：令t=a^x，換元，構(gòu)造方程t²+（1+

1

m

）t+1=0，題意說明方程有正解，利用△≥0，以及韋達(dá)定理t₁+t₂=-（1+

1

m

）＞0
t₁t₂=1＞0，來解m即可．

解答：解：令t=a^x，則原方程化為：
t²+（1+

1

m

）t+1=0，這是個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)（或是冪函數(shù)）的定義，必有t=a^x＞0，
∴此關(guān)于t的一元二次方程必然要存在實(shí)根，且實(shí)根無論個(gè)數(shù)如何，都必須使正的
方程有實(shí)根的條件是：
△=（1+

1

m

）²-4≥0
1+

2

m

+（

1

m

）²-4≥0
3-

2

m

-（

1

m

）²≤0
m作為分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式兩側(cè)同時(shí)乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-

1

3

≤m≤1   ①
方程具有正實(shí)根的條件是：
t₁+t₂=-（1+

1

m

）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子顯然成立，上面的不等式進(jìn)一步化簡有：

m+1

m

＜0
＜=＞-1＜m＜0   ②
�、�，②的交集，就能得到m的取值范圍是：
-

1

3

≤m＜0
故選A．

點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查函數(shù)與方程的思想，換元法，考查計(jì)算能力，是中檔題．