Question

(2006江西，20)如下圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=1．另一個側面ABC是正三角形．

(1)求證：AD⊥BC；

(2)求二面角B－AC－D的大��；

(3)在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角?若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：作AH⊥面BCD于H，連DH． ， ， ． 又BD=CD，則BHCD是正方形． 則DH⊥BC．∴AD⊥BC． 解法二：取BC的中點O，連AO、DO，則有AO⊥BC，DO⊥BC． ∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD． (2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角的平面角． ， ∴M是AC的中點，且MN∥CD． 則， ． 由余弦定理得， ， (3)設E為所求的點，作EF⊥CH于F，連FD．則EF∥AH， ∴EF⊥面BCD．∠EDF就是ED與面BCD所成的角，則． 設EF=x，易得AH=HC=1，則CF=x，， ． 解得，則． 故線段AC上存在E點，且CE=1，使ED與面BCD成30°角．