Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（4m，0）（M＞0，m為常數(shù)），離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若θ=90°時(shí)，+=，求實(shí)數(shù)m；
（3）試問(wèn)+的值是否與θ的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由題意，c=4m，=0.8，∴a=5m，b=3m，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）θ=90°時(shí)，N（4m，），NF=MF=
∵+=，∴=，∴m=；
（3）+=，證明如下：
由（2）知，當(dāng)斜率不存在時(shí)，+=
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)1：y=k（x-4m）代入橢圓方程得（9+25k²）x²-200mk²x+25m²（16k²-9）=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則MF=e（）=5m-，NF=5m-，
∴+==與θ無(wú)關(guān)．
分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出MF、NF，利用+=，即可求實(shí)數(shù)m；
（3）分類(lèi)討論，利用焦半徑公式，結(jié)合韋達(dá)定理，可知+的值與θ的大小無(wú)關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．