Question

已知函數f(x)=lnx-

a

x

+

a

x2

（a∈R）．
（1）若a=1，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）內為單調增函數，求實數a的取值范圍；
（3）對于n∈N^*，求證：

1

(1+1)2

+

2

(2+1)2

+

3

(3+1)2

…+

n

(n+1)2

＜ln(n+1)．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，判斷導數的正負，得到函數有極小值0，無極大值．
（2）由條件可知f^′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得到a的范圍．
（3）當a=1時，由（2）知，f（x）在[1，+∞）內為單調增函數，即x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)，就可以得到結論．

解答：解：f′(x)=

1

x

+

a

x2

-

2a

x3

=

x2+ax-2a

x3

(x＞0)
（1）若a=1，f′(x)=

x2+x-2

x3

，令f^′（x）=0，得x=1或x=-2（負值舍去）
當0＜x＜1時，f^′（x）＜0；當x＞1時，f^′（x）＞0
∴f（x）的極小值為f（1）=0，無極大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）內為單調增函數
∴f′(x)=

x2+ax-2a

x3

≥0在[1，+∞）上恒成立
即x²+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x²+ax-2a
當-

a

2

≤1即a≥-2時，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1
當-

a

2

＞1即a＜-2時，g(-

a

2

)≥0，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2
綜上a的取值范圍是[-8，1]
（3）當a=1時，由（2）知，f（x）在[1，+∞）內為單調增函數
即x＞1時，f（x）＞f（1）=0
即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)
取x=

n+1

n

(n∈N*)
∵

n+1

n

＞1
∴ln

n+1

n

＞

n

n+1

-

n2

(n+1)2

=

n

(n+1)2

∴

n

i=1

i

(i+1)2

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)

點評：本題主要考查了利用導數求函數的極值、函數單調性與導數之間關系的應用、數列與不等式的綜合應用，用到了分類討論、等價轉化的數學思想和方法．