Question

下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　�。�

• A、y=sinx
• B、y=2^x
• C、y=x³-x
• D、y=lg（x+

  1+x2

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)正弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，奇偶性及單調(diào)性，以及通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法容易找到正確選項．

解答： 解：A．y=sinx在其定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；
B．y=2^x不是奇函數(shù)；
C．y=x³-x，y′=3x²-1，不能得出y′＞0，所以該函數(shù)在其定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；
D．y=lg(x+

1+x2

)，容易求出該函數(shù)定義域為R，令y=f（x），則f（-x）=lg(-x+

1+x2

)=lg

1

x+ 1+x2

=-lg(x+

1+x2

)=-f(x)；
∴該函數(shù)在其定義域R內(nèi)是奇函數(shù)；
y′=

1

1+x2 ln10

＞0，∴該函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)．
故選D．

點評：考查正弦函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，奇偶性的定義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．