Question

△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，2），B（4，1），C（4，4），直線l平行于BC，截△ABC得到一個小三角形，且截得小三角形面積是△ABC面積的

1

9

，則直線l的方程為

x=2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)B、C兩點的坐標(biāo)，求出直線BC的方程為x=4，由此可以設(shè)直線l方程為x=k（1＜k＜4），根據(jù)小三角形AMN與△ABC相似且小三角形AMN面積是△ABC面積的

1

9

，可得MN=

1

3

BC=1．然后用直線方程的點斜式，分別求出直線AB、AC的方程，再令x=k，分別得到直線l與AB、AC的交點M、N坐標(biāo)，最后用距離公式列式，可以得出k的值，從而得到直線l的方程．

解答：解：∵B（4，1），C（4，4），
∴直線BC的方程為：x=4
又∵直線l平行于BC，
∴可設(shè)直線l方程為x=k（1＜k＜4）
設(shè)直線l分別與AB、AC交于點M、N，
由△AMN∽△ABC，且△AMN面積是△ABC面積的

1

9

，
得(

MN

BC

)2=

1

9

⇒MN=

1

3

BC=1
∵A（1，2），B（4，1）
∴直線AB的斜率為k1=

1-2

4-1

=-

1

3

可得直線AB方程為：y-2=-

1

3

（x-1），即y=-

1

3

x+ 

7

3

令x=k，得y=-

1

3

k+

7

3

，
∴M（k，-

1

3

k+

7

3

）
同理求得N（k，

2

3

k+

4

3

）
∴MN=

2

3

k+

4

3

-（-

1

3

k+

7

3

）=1⇒k=2
∴直線l的方程為x=2
故答案為：x=2

點評：本題以三角形相似為載體，著重考查了直線方程的基本形式、兩點的距離公式等知識點，屬于基礎(chǔ)題．