Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $[{\frac{1}{7}\;\;，\;\;1}]$
• B． $[{-1\;\;，\;\;\frac{1}{7}}]$
• C． $（-∞\;\;，\;\;-\frac{1}{7}]∪[1\;\;，\;\;+∞）$
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)列出不等式組求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x
=$\frac{1}{2}$cos2x+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x
∴f'（x）=-sin2x+3a（cosx+sinx）+4a-1=-（cosx+sinx）²+3a（cosx+sinx）+4a≥0，對(duì)$x∈[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;0}]$恒成立．
∵$cosx+sinx=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$，∴當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;0}]$時(shí)，-1≤cos+sinx≤1．
令g（t）=-t²+3at+4a（-1≤t≤1），欲使g（t）≥0恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}g（{-1}）≥0\\ g（1）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-{（{-1}）^2}+3a×（{-1}）+4a≥0\\-1+3a+4a≥0\end{array}\right.⇒a≥1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．