是否存在常數(shù)，使等式對于一切都成立?若不存在，說明理由；若存在，請用數(shù)學(xué)歸納法證明？

 

【答案】

，見解析.

【解析】本試題考查了抽象函數(shù)式的運(yùn)用。若存在常數(shù)使等式成立，則將代入上式可以得到a,b,的關(guān)系式，得，即有

然后證明對于一切成立，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可得。

解：若存在常數(shù)使等式成立，則將代入上式，有

得，即有

          對于一切成立………4分

證明如下：

(1)當(dāng)時，左邊=，右邊=，所以等式成立   …………6分

(2)假設(shè)時等式成立，即

                

當(dāng)時，

=

==

==

也就是說，當(dāng)時，等式成立，                     …………11分

綜上所述，可知等式對任何都成立。                …………12分

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天利38套《2008全國各省市高考模擬試題匯編　精華大字版》、數(shù)學(xué)文 精華大字版 題型：044

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線斜率為k且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，P在準(zhǔn)線l上．

(Ⅰ)當(dāng)k＝1且直線PA與PB相互垂直時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)，試問是否存在常數(shù)λ，使等式恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆黑龍江省下學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)試題（文科） 題型：解答題

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)F作一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，再分別過點(diǎn)A、B作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)記為P．

   （1）證明：直線PA與PB相互垂直，且點(diǎn)P在準(zhǔn)線上；

   （2）是否存在常數(shù)，使等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線y=的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線斜率為k，且與拋物線交于A；B兩點(diǎn)，P在準(zhǔn)線l上.

(Ⅰ)當(dāng)k=1且直線PA與PB相互垂直時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)P(k，)，試問是否存在常數(shù)λ；使等式恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線斜率為k且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，P在準(zhǔn)線l上．

(Ⅰ)當(dāng)k=1且直線產(chǎn)PA與PB相互垂直時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)P(k，)，試問是否存在常數(shù)λ，使等式恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

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