Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h，則sin

C-A

2

+cos

C+A

2

的值是（　�。�

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．-1

Answer 1

分析：由AC邊上的高為c-a，由AC=b，表示出三角形的面積，再由a，c及sinB，利用三角形的面積公式表示出面積，兩者相等列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后，根據(jù)sinB不為0，得到sinA-sinC=sinAsinC，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用積化和差公式變形，表示出2cos

C+A

2

sin

C-A

2

，將所求式子平方并利用完全平方公式展開，第一、三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將表示出的2cos

C+A

2

sin

C-A

2

代入，求出值，再由c-a大于0，得到C大于A，可得出

C-A

2

的范圍，進而確定出sin

C-A

2

大于0，由三角形內(nèi)角和定理得到

C+A

2

=90°-

B

2

，得出

C+A

2

的范圍，進而確定出cos

C+A

2

大于0，可得出所求式子大于0，開方即可求出值．

解答：解：∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

b（c-a），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化簡得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cos

C+A

2

sin

C-A

2

=

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]，
又cos（A-C）=1-2sin²

A-C

2

，cos（A+C）=2cos²

A+C

2

-1，
∴（sin

C-A

2

+cos

C+A

2

）²=sin²

A-C

2

+2sin

C-A

2

+cos

C+A

2

+cos²

A+C

2

=

1

2

[1-cos（C-A）]+

1

2

[cos（C-A）-cos（A+C）]+

1

2

[1+cos（C+A）]=1，
∵c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜

C-A

2

＜90°，
∴sin

C-A

2

＞0，
又

C+A

2

=90°-

B

2

，且0＜90°-

B

2

＜90°，
∴cos

C+A

2

＞0，
∴sin

C-A

2

+cos

C+A

2

＞0，
則sin

C-A

2

+cos

C+A

2

=1．
故選A

點評：此題考查了三角形的和差化積公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形的面積公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．